Por Gabriela Pérez

La vida es más que números, fórmulas, formas o problemas; también es amor, seducción y misterio.

A veces podemos generar objetos fascinantes y paradójicos. Como la cinta de Moebius, que nos asombra. La topología es una de las ramas de las matemáticas que trata de la continuidad, de las propiedades de las figuras como su tamaño y su forma.

Y, ¿me interesa aprender a mí esto?

¿Puedo encontrar con ello la clave para la resolución feliz de una historia de amor, por ejemplo? ¿Tiene futuro una relación amorosa que comienza sobre una cinta de Moebius? La topología, además de ser la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas, ¿es la más sentimental?

Podríamos hacer unas cuantas preguntas más, pero estas parecen ser lo suficientemente interesantes como para empezar.

Möbius strip es un cortometraje de animación de Link Pak Shing y Wan Ting Tifa, protagonizado por unos bellísimos personajes.

Luego de ver el corto, tuve una cascada de preguntas, que creo que puedo ensayar y tratar de responder con ustedes aquí:

¿Dónde se encuentra la cinta sobre la que están los personajes de la historia?
¿Se trata realmente de una cinta?
Si esta cinta permaneciera inalterada como en el inicio de la historia, ¿nuestros personajes se conocerían?
¿Podría decir que el primer corte de tijera lo hace Cupido? ¿Qué produce el primer corte y qué tiene de importante?
Si bien el amor no tiene explicación —y eso lo hace tan misterioso y único—, ¿por qué uno de los personajes decide cruzar la línea punteada?
¿Cambia el escenario de la historia luego del segundo corte de tijera? ¿Los personajes han entendido qué sucedió?
En este punto, ¿cuánto puede hacer cada personaje por alterar el rumbo de la historia? ¿Alguno de los dos tiene ventaja sobre el otro? ¿Por qué?
¿Habría un final feliz para quienes saben matemáticas? ¿Habría un final triste para quienes no saben matemáticas? ¿Por qué?

Doble hélice adn

Yo soy química y no matemática, pero como me interesa el amor, investigué que la topología es probablemente la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas. En contraste con el álgebra, la geometría y la teoría de los números, cuyas genealogías datan de tiempos antiguos, la topología aparece recién a finales del siglo XIX y principios del XX, con el nombre de analysis situs, es decir, ‘análisis de la posición’.

De manera informal, la topología se ocupa de aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes, cuando dichas figuras son plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas. El topólogo considera los mismos objetos que el geómetra, pero de modo distinto: no se fija en las distancias o los ángulos, ni siquiera en la alineación de los puntos. Para él, un círculo es equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo: se dice que la bola y el cubo son objetos «topológicamente equivalentes» porque se pasa de uno al otro mediante una transformación continua y reversible. ¡Caracoles! ¿Y de verdad esto me hará más simple la vida?

Experimentación, ante todo. Tomen una cinta de papel y únanla por sus extremos para formar un anillo; eso sí, antes de pegarla giren uno de los extremos. La cinta resultante será la famosa cinta de Moebius: aunque no ha dejado de ser un objeto material y simple, posee una sola cara, cosa demostrable por el simple método de trazar sobre ella una línea, recorriendo toda la longitud del papel sin levantar el lápiz ni una sola vez: la línea concluirá donde empezó, mordiéndose la cola como la serpiente mitológica que fue parte después, del imaginario alquimista.

Si ahora apelamos a una tijera y cortamos la cinta siguiendo el trazo, no obtendremos, como cualquiera esperaría, dos anillos de papel: será solamente uno. Otra rareza. ¡Si se repite la operación, el resultado serán dos aros de cinta encadenados!

La cinta de Moebius es uno de los «juguetes» más amados de la topología. Inspiró los dibujos de M. C. Escher y fue, entre otras cosas, el punto de partida para notables relatos fantásticos de Franz Kafka, Jorge Luis Borges y Adolfo Bioy Casares.

Por supuesto también tiene aplicaciones en biología molecular, física y química. Para todo el mundo antes de Euler, parecía imposible pensar en propiedades geométricas sin que la medida estuviera involucrada. Además de la cinta de Moebius, otro gran tema que estudia la topología es la teoría de nudos.

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La técnica de tejido, que precisa cruces y anudados de hilos, se conocía desde el neolítico. Aun en épocas anteriores, existían ya métodos que permitían unir una lámina de piedra a su mango, para hacer un hacha, con tripas, nervios de animales o fibras vegetales. Lamentablemente, la descomposición de todas estas ligaduras orgánicas no permitió nunca conocer con precisión la edad de los primeros nudos.

Para el topólogo, un nudo es una curva continua, cerrada y sin puntos dobles. Esta curva está situada en un espacio de tres dimensiones y se admite que pueda ser deformada, estirada, comprimida, aunque está «prohibido» hacerle cortes. Cuando se puede, a través de diversas manipulaciones, se pasa de un nudo a otro y se dice que son equivalentes.

En general, es muy difícil decidir cuándo dos nudos son equivalentes y gran parte de la teoría de nudos está precisamente dedicada a intentar resolver esta cuestión.

Los nudos están catalogados teniendo en cuenta su complejidad. Una medida de la complejidad es el número de «cruce», es decir, el número de puntos dobles en la proyección plana más simple del nudo. El nudo trivial tiene número de cruce cero. El trébol y la figura de ocho son los únicos nudos con número de cruce tres y cuatro, respectivamente.

Los nudos se pueden sumar, restar, multiplicar e incluso dividir. ¡Existe el álgebra de los nudos! Pero cuando los nudos se complican, su simple descripción no basta para distinguirlos. Así, partiendo de su forma (la geometría del nudo), se han desarrollado fórmulas que funcionan para todos los nudos.

Los nudos están presentes en ámbitos tan dispares como la decoración, la industria textil, la magia, el alpinismo o la cirugía. Su estudio permite en la actualidad ver su relación con la física, la química o la biología molecular. Con esto me siento más cómoda.

El ADN, el material genético más importante en la mayoría de los organismos, se ve habitualmente como una doble hélice, en la que dos cadenas de nucleótidos complementarios se enrollan a lo largo de un eje común. El eje de esta hélice doble no es lineal, sino curvo. La doble hélice puede moverse en el espacio para formar una nueva hélice de orden mayor; en este caso, se habla de ADN sobre enrollado. Parece que una gran parte de los ADN conocidos se muestra de esta manera sobre enrollada en algún momento del ciclo de su vida.

El ADN circular sobre enrollado es una doble hélice de moléculas, donde cada cadena de polinucleótidos forma un anillo. Cada propiedad física, química y biológica del ADN es afectada por la circularidad y las deformaciones asociadas al sobre enrollamiento.

Para estudiar matemáticamente el sobre enrollamiento, hay que construir un modelo en el que la estructura se represente como un estrecho lazo torcido de espesor infinitesimal. Por ello, es necesario describir los nudos y encontrar características esenciales que permitan distinguirlos —en otras palabras— clasificarlos sin riesgo de confusión.

Estas características, que deben permanecer inalterables a lo largo de la deformación del nudo, se llaman invariantes del nudo. En el estudio de la replicación del ADN celular, se encuentran sacos de nudos. El ADN está más o menos enrollado sobre sí mismo y, en el momento de la replicación, se forman nudos que están controlados por proteínas que se llaman topoisomerasas. Conociendo mejor estas proteínas y su interacción con el ADN, se abren nuevas perspectivas en la lucha contra las enfermedades genéticas, el cáncer, los virus y las bacterias.

Por otro lado, estudios recientes de las ecuaciones que determinan flujos, como el de la atmósfera alrededor de nuestro planeta, por ejemplo, muestran cómo las partículas pueden moverse en complicados itinerarios de nudos.
Combinando la teoría de nudos con la teoría de cuerdas, se ha podido dar una descripción unificada de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza: gravedad, electromagnetismo, interacciones fuertes e interacciones débiles entre partículas.

moebius en grafeno

Los químicos creamos en el laboratorio moléculas anudadas, cuyas propiedades nos permiten modificar su forma o desplazarse en función de factores eléctricos, químicos o luminosos, decididos por la persona que dirige la experiencia.

El carbono es uno de los elementos químicos más importantes en la naturaleza. Se encuentra en todos los seres vivos y, según se distribuyan sus átomos, puede formar sustancias con distintas características. A partir del carbono se consigue el grafeno. Para poder hacernos una idea de en cuántos campos distintos puede aplicarse el grafeno, es necesario echar un vistazo a nuestro alrededor y ver todo lo que nos rodea. Ordenadores, coches, celulares y equipos de música son, por mencionar sólo algunos, cosas que encontramos frecuentemente en nuestra vida cotidiana en las que el grafeno se podría llegar a aplicar.

Por sus propiedades, el grafeno puede servir como material en la fabricación de aviones, satélites espaciales o automóviles, haciéndolos más seguros. También en la construcción de edificios, pues los convertiría en más resistentes. Pero, sobre todo, al aplicar una banda Moebius al grafeno, destacan sus aplicaciones en el campo de la electrónica, donde a través de su capacidad para almacenar energía puede dotar a las baterías de una mayor duración y un menor tiempo de carga, establecer conexiones más rápidas e incluso contribuir a mejorar el medio ambiente sustituyendo a materiales contaminantes que hoy en día nos vemos obligados a utilizar.

Ya lo sé, comencé hablando del amor y terminé enmarañada con nudos.

Luego de varios giros, parece mucho más fácil el giro y el avance al amor más importante que tengo, conmigo misma, he de decir.

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