La palabra de Gabriela: Jaque mate en matemáticas


Por Gabriela Pérez

(Foto de portada: Luiz Hanfilaque en Unsplash)

Es como todos. En su rincón, rige las piezas sabiendo que el tablero demora hasta el alba el choque entre los dos colores que se repelen y se odian.

Adentro nos miramos todos: torre homérica, ágil caballo, incólume reina, rey postrero, sesgado alfil y peones pendencieros.

Cuando al jugador haya sido consumido por el tiempo, no habrá cesado el rito. Este juego, como todos los importantes, es infinito.

Highmore, Joseph, 1692-1780; Abraham de Moivre (1667-1754)
Abraham de Moivre

Abraham de Moivre nació en Vitry-le-François en 1667, vivió desde los 21 años en Inglaterra. Por su origen protestante se vio afectado por la decisión del llamado Rey Sol de revocar el Edicto de Nantes, lo que supuso la persecución y el exilio de los hugonotes o calvinistas franceses. Una vez en Londres formó parte del círculo de amigos y discípulos de Newton y del astrónomo Edmund Halley. También mantuvo relación epistolar con los hermanos Bernoulli y con Leibniz. Gracias a su amistad con Newton y Halley, fue elegido miembro de Royal Society de Londres en 1697. A pesar de haber sido un genio matemático a la vista de todos, de Moivre no logró un puesto en la Royal Society ni en ninguna otra universidad, sino que permaneció en la pobreza trabajando en resto de su vida como consultor de los sindicatos de seguros y apuestas. Durante la vejez fue cliente regular del Slaughter’s Coffee House, donde apostaba al ajedrez.

Una muestra de su capacidad de trabajo y de la amplitud de sus conocimientos viene expresada por la frase que Newton, al final ya de su vida, dirigió a aquellos que fueron a plantearle cuestiones de matemáticas:

“Vayan, vayan a ver a Mr. De Moivre; él sabe esas cosas mejor que yo”.

De Moivre se dio cuenta de que cada día dormía 20 minutos más que el día anterior. A partir de ahí conjeturó que moriría el día que durmiera 24 horas seguidas. Ese día, calculado por él mismo, era el 27 de noviembre de 1754.

La causa oficial quedó registrada como «somnolencia».

Estaba en lo cierto.

Realmente pasó a la posteridad fundamentalmente como matemático por la fórmula que lleva su nombre y sus trabajos en el campo de la probabilidad y la inferencia estadística y no por su curiosa muerte, acaecida exactamente en el día por él predicho.

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En 1722, De Moivre, que jugaba al ajedrez para redondear sus escasos ingresos, encontró una secuencia de movimientos que permite a un caballo visitar toda la tabla, pasando por todas las casillas una vez, y solo una vez. Su solución fue publicada en 1725 en las Régéations mathématiques et physiques de Jacques Ozanam, quien había sido su tutor, y explícitamente revela cuál fue la idea para resolver el problema. Reducirlo, es decir, a encontrar los dos caminos del caballo -que cubren respectivamente, la parte central del tablero de ajedrez y el marco exterior-, y conectarlos. (figura 1, primera fila).

Fig . 1 _De Moivre
Figura 1

En 1759,  Euler propuso una solución a una pregunta curiosa que no parecía haber sido sometida a ningún análisis: es decir, encontrar una secuencia cerrada de movimientos del caballo, desde cuyo punto final uno podía regresar en un movimiento al inicial. Un camino de este tipo (en un tablero de ajedrez) recibió una aplicación inesperada en 1978, cuando Georges Perec lo utilizó como una estructura narrativa de su novela “La vida, instrucciones de uso”.
La vida instrucciones de uso

Una buena forma de obtener dicho circuito, propuesto en 1836 por Teodoro Ciclini en Del cavallo degli scacchi, consiste en dividir el tablero de ajedrez en cuatro cuadrantes, y cada cuadrante en cuatro circuitos, respectivamente dos de forma romboidal y dos de forma cuadrada (figura 2, fila en la parte inferior, donde en cada cuadrante solo se muestra uno de los cuatro circuitos). La observación fundamental es que los circuitos correspondientes de los cuatro cuadrantes se pueden combinar en un solo circuito de 16 cuadrados en el tablero, y estos cuatro circuitos se pueden combinar juntos en una trayectoria completa (figura 3 en la parte inferior derecha).

Igualmente interesante es que los caminos del caballo son los de la torre. En este caso, el problema tiene una solución completa y elegante: una torre puede comenzar desde una caja, visitar toda la placa y terminar en otra caja si solo las dos tienen colores diferentes.

La solución está vinculada a un teorema demostrado en 1976 por Ralph Gomory: un tablero de ajedrez al que se eliminan dos cajas puede cubrirse con fichas de dominó si y solo si las dos cajas tienen diferentes colores. Y el vínculo está en el hecho de que los caminos de la torre corresponden a secuencias de dominó, y viceversa, porque la torre se mueve horizontal o verticalmente.

Para demostrar una dirección del teorema de Gomory, es suficiente señalar que para cubrir 62 cuadrados del tablero hay 31 tejidos, que cubren 31 cajas blancas y 31 negras: por lo tanto, las dos restricciones deben tener diferentes colores. Para demostrar la otra dirección, solo considera un camino de la torre que cubre todo el tablero. Al eliminar cualquier casilla, queda una ruta cuyos cuadros de inicio y final tienen el mismo color, opuesto al de la casilla eliminada. Al quitar una segunda caja, del color opuesto a la primera, la ruta se divide en dos partes, cuyos respectivos cuadros de inicio y final tienen colores opuestos, y se pueden conectar mediante dos secuencias de tarjetas.

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Jaque a la torre, por lo tanto, también al caballo.

También el jugador de ajedrez es prisionero de otro tablero de negras noches y de blancos días. Abraham de Moivre murió ciego y sin que sus trabajos hubiesen llegado a ser reconocidos por la comunidad científica, pero eso sí, murió en la fecha predicha.

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